Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，，，M為DC的中點，將沿AM折起，使得平面平面ABCM．

（1）求證：平面平面BMD；

（2）若點E是線段DB上的一動點，問為何值時，二面角的余弦值為．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）的值為.

【解析】

（1）首先證明線面垂直，利用線面垂直證明面面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，列出各點坐標，求出平面法向量，根據面面角的公式以及二面角的余弦值可求出.

（1）長方形ABCD中，，，M為DC的中點，

，

故，所以，

平面平面ABCM，平面平面，平面ABCM，

平面ADM，

平面BDM，

平面平面BMD；

（2）建立如圖所示的直角坐標系，則平面ADM的一個法向量，

設，則，

又，，，，

故，

，，

，

設平面AME的一個法向量為，

則，即，取，

由題意知，

故，

即，解得，

故當的值為時，二面角的余弦值為．