Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=f（x+2） 當x∈[1，3]時，f（x）=2-|x-2|，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A、f（sin

  π

  6

  ）＜f（cos

  π

  6

  ）
• B、f（sin1）＜f（cos1）
• C、f（cos

  2π

  3

  ）＜f（sin

  2π

  3

  ）
• D、f（cos2）＜f（sin2）

Answer 1

分析：先將區間[1，3]分解為[1，2]和∈（2，3]兩部分，去絕對值討論出函數的單調性，再觀察題設條件與選項．選項中的數都是（-1，1）的數，故利用f（x）=f（x+2）找出函數在（-1，1）上的單調區間，用單調性比較大�。�

解答：解：x∈[1，2]時，f（x）=x，故函數f（x）在[1，2]上是增函數，
    x∈（2，3]時，f（x）=4-x，故函數f（x）在[2，3]上是減函數，
    又定義在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），故函數的周期是2
    所以函數f（x）在（-1，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，
    觀察四個選項：A中sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，故A不對；
     B選項中0＜cos1＜sin1＜1，故B為真命題；
     C選項中 f（cos

2π

3

）=f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

2

，f（sin

2π

3

）=f（

3

2

）=f（2+

3

2

）=2-

3

2

，故C為假命題；
    D選項中 f（cos2）=2-cos2＞2＞f（sin2）=2-sin2  
     綜上，選項B是正確的．
     故選B．

點評：本題考查函數的周期性與函數的單調性比較大小，屬于中檔題．將函數的表達式化為分段的形式，再將所給的區間平移至（-1，1），進而利用單調性來比較函數值的大小，是處理函數的周期性常用方法．