Question

已知命題p：方程x²+mx+1=0有兩上不相等的負實根，命題q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集為R，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p真，則有

△ =m2-4＞0 - m 2 ＜0 f(0)＞0

，解得 m＞2；若命題q真，則有判別式△′=[4（m-2）]²-16＜0，解得 1＜m＜3．分命題p為真、命題q為假，以及命題p為假、命題q為真兩種情況，分別求出m的取值范圍，取并集即得所求．

解答：解：令f（x）=x²+mx+1，若命題p真，則有

△ =m2-4＞0 - m 2 ＜0 f(0)＞0

，解得 m＞2．
若命題q真，則有判別式△′=[4（m-2）]²-16＜0，解得 1＜m＜3．
根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得命題p和命題q一個為真，另一個為假．
當命題p為真、命題q為假時，m≥3．
當命題p為假、命題q為真時，1＜m≤2．
綜上可得，m的取值范圍為[3，+∞）∪（1，2]．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．