Question

【題目】正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD= CD=2，點M是EC中點． （Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求三棱錐M﹣BDE的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取ED的中點N，連接MN． 又∵點M是EC中點．
∴MN∥DC，MN= ．
而AB∥DC，AB= DC．
∴ ，
∴四邊形ABMN是平行四邊形．
∴BM∥AN．
而BM平面ADEF，AN平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）解：∵M為EC的中點，
∴ ，
∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE與CD相交于D
∴AD⊥平面CDE．
∵AB∥CD，
∴三棱錐B﹣DME的高=AD=2，
∴VM﹣BDE=VB﹣DEM= = ．

【解析】（Ⅰ）取ED的中點N，連接MN．利用三角形的中位線定理可得MN∥DC，MN= ．再利用已知可得 ，即可證明四邊形ABMN是平行四邊形．再利用線面平行的判定定理即可證明．（Ⅱ）利用三棱錐的體積計算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM= ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．