Question

【題目】已知函數g（x）= +g（x）．
（1）試判斷g（x）的單調性；
（2）若f（x）在區間（0，1）上有極值，求實數a的取值范圍；
（3）當a＞0時，若f（x）有唯一的零點x0 ， 試求[x0]的值．（注：[x]為取整函數，表示不超過x的最大整數，如[0.3]=0，[2.6]=2，[﹣1.4]=﹣2；以下數據供參考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

② 當a≥0時，g'（x）＜0，∴函數g（x）在區間（0，+∞）上單調遞減；

②當a＜0時，由g'（x）=0，解得 ，

當 時，g'（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減；

當 時，g'（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增

（2）解：f（x）=x2+g（x），其定義域為（0，+∞）．

，

令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），h'（x）=6x2﹣a，

當a＜0時，h'（x）＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上為增函數，

又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，

∴函數h（x）在（0，1）內至少存在一個變號零點x0，且x0也是f'（x）的變號零點，

此時f（x）在區間（0，1）內有極值．

當a≥0時，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）時，f'（x）＜0恒成立，

∴函數f（x）在（0，1）單調遞減，此時函數f（x）無極值

綜上可得：f（x）在區間（0，1）內有極值時實數a的取值范圍是（﹣∞，0）

（3）解：∵a＞0時，函數f（x）的定義域為（0，+∞）

由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時，f（x）＞0，∴x0＞1．

又f（x）在區間（1，+∞）上只有一個極小值點記為x1，

且x∈（1，x1）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

x∈（x1，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

由題意可知：x1即為x0．

∴ ，∴ 消去可得： ，

即

令 ，則t（x）在區間（1，+∞）上單調遞增

又∵

由零點存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0

∴2＜x0＜3∴[x0]=2

【解析】（1）求出g（x）的導數，討論當a≥0時，當a＜0時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，注意定義域；（2）求出f（x）的導數，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），求出導數，討論a的符號，判斷單調性，即可得到所求a的范圍；（3）由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時，f（x）＞0，則x0＞1，討論f（x）在x＞1的單調性，再由零點的定義和極值點的定義，可得x0的方程，構造函數 ，判斷單調性，由零點存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．