Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為，且當(dāng)n≥2時(shí)，S_nS_n-1-3S_n+2=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）本題可通過遞推公式由首項(xiàng)a₁求出數(shù)列的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)．
（Ⅱ）由，用b_n表示出S_n，然后代入S_nS_n-1-3S_n+2=0中，就可以求得數(shù)列{b_n}的遞推式，通過構(gòu)造即可求得其通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）要證不等式成立，需先求出T_n，需要利用前面的結(jié)論求出的通項(xiàng)公式，然后通過放縮即可證明不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）∵當(dāng)n≥2時(shí)，s_ns_n-1-3s_n+2=0，．
∴當(dāng)n=2時(shí)，，解得．
則．
當(dāng)n=3時(shí)，，解得，可得．

（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，s_ns_n-1-3s_n+2=0，由得，
于是，
化簡，得b_n=2b_n-1-1，從而b_n-1=2（b_n-1-1），
∴{b_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列．∴b_n-1=（b₁-1）•2^n-1=-2ⁿ⁺¹，b_n=-2ⁿ⁺¹+1．

（Ⅲ）由（2），得====．
∴≤．
從而，
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，在證明不等式時(shí)注意放縮法的應(yīng)用．是中檔題．