Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=

1

2

，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判斷{

1

Sn

}是否為等差數列？并證明你的結論；
（2）求S_n和a_n；
（3）求證：S12+S22+…+Sn2≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，兩邊同除以S_nS_n-1，可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，從而可得{

1

Sn

}為等差數列；
（2）由（1）知{

1

Sn

}是以首項為2，公差為2的等差數列，從而可得S_n，利用a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），可求a_n；
（3）利用Sn=

1

2n

，表示S₁²+S₂²+…+S_n²，利用放縮法變為S12+…+Sn2=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)≤

1

4

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)，從而利用裂項法求和，即可證得．

解答：解：（1）S₁=a₁=

1

2

，∴

1

S1

=2
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∴{

1

Sn

}為等差數列，首項為2，公差為2…（4分）
（2）由（1）知

1

Sn

=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=

1

2n

…（6分）
當n≥2時，an=-2SnSn-1=-2•

1

2n

•

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

∴an=

1 2 n=1 - 1 2n(n-1) n≥2，n∈N

…（9分）
（3）S12+…+Sn2=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)≤

1

4

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)=

1

4

(1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

4

(2-

1

n

)=

1

2

-

1

4n

…（13分）

點評：本題的考點是數列與不等式的綜合，主要考查數列的通項的求解，關鍵是利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，巧妙構建新數列，同時考查放縮法，考查裂項法求和，有一定的綜合性．