Question

過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于點P，與x²+y²=a²恰好切于線段FP的中點M，則直線l的斜率為（　　）

• A．

  b

  a

• B．

  2

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：設雙曲線的右焦點為F'，由三角形中位線定理可得|PF₁|=2|OM|=2a，結合雙曲線的定義：|PF|-|PF₁|=2a，算出|PF|=4a，最后在Rt△PFF'中利用三角函數的定義，算出∠PFF'的正切值，可得直線l的斜率．

解答：解：設雙曲線的右焦點為F'，
∵原點O為FF'的中點，線段FP的中點為M，
∴OM為△PFF'的中位線，可得|PF'|=2|OM|=2a，
∵由雙曲線的定義可知：|PF|-|PF'|=2a，
∴|PF|=|PF'|+2a=4a，
由OM⊥PF，可得PF'⊥PF，
∴Rt△PFF'中，tan∠PFF'=

|PF′|

|PF|

=

1

2

，即直線l的斜率為

1

2

．
故選：D

點評：本題給出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條焦半徑與圓x²+y²=a²恰好相切于它的中點，求焦半徑所在直線的斜率．著重考查了直線的斜率、雙曲線的定義與標準方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．