Question

過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一點P作一直線交雙曲線C漸近線于A，B兩點，且滿足

AP

=λ

PB

，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：根據題意設A（am，bm），B（an，-bn），由

AP

=λ

PB

算出點P坐標關于m、n、λ的表達式，代入雙曲線方程算出mn=

(1+λ)2

4λ

．利用直線的斜率公式和二倍角的三角函數公式算出sin∠AOB=

2ab

a2+b2

，由兩點的距離公式算出OA、OB的長，根據三角函數的面積公式加以計算即可得到△AOB的面積S=

(1+λ)2

4λ

ab．

解答：解：根據題意，可得雙曲線的漸近線為y=±

b

a

x，
設A（am，bm），B（an，-bn），m、n均為正數，設P（x₁，y₁）
∵

AP

=λ

PB

，
∴

x1= am+λan 1+λ y1= bm-λbn 1+λ

，可得P（

am+λan

1+λ

，

bm-λbn

1+λ

）
將點P坐標代入雙曲線方程，得

( am+λan 1+λ )2

a2

-

( bm-λbn 1+λ )2

b2

=1，
即

(m+λn)2

(1+λ)2

-

(m-λn)2

(1+λ)2

=1，化簡得mn=

(1+λ)2

4λ

．
設直線y=

b

a

x的傾斜角為α，則tanα=

b

a

，
∴sin∠AOB=sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

2• b a

1+( b a )2

=

2ab

a2+b2

，
∵OA=

(am)2+(bm)2

=m

a2+b2

，OB=

(an)2+(bn)2

=n

a2+b2

，
∴△AOB的面積S=

1

2

OA•OBsin∠AOB=

1

2

mn（a²+b²）

2ab

a2+b2

=

(1+λ)2

4λ

ab．

點評：本題給出雙曲線的漸近線上點A、B和雙曲線上的點P，在滿足

AP

=λ

PB

的情況下求△AOB的面積，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質、直線的傾斜角、二倍角的三角函數公式和三角形的面積計算等知識，屬于中檔題．