Question

10．設函數f（x）=|2x+2|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）＞7 的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍，去掉絕對值符號解不等式；
（2）求出f（x）的最小值f_min（x），令f_min（x）≤|3m-2|解出m的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）＞7，即|2x+2|+|2x-3|＞7．
當x≤-1時，不等式為：-2x-2-2x+3＞7，解得x＜-$\frac{3}{2}$；
當-1$＜x＜\frac{3}{2}$時，不等式為：2x+2-2x+3＞7，無解；
當x≥$\frac{3}{2}$時，不等式為：2x+2+2x-3＞7，解得x＞2；
綜上，不等式f（x）＞7的解集是{x|x$＜-\frac{3}{2}$或x＞2}．
（2）∵f（x）=|2x+2|+|2x-3|≥|2x+2-2x+3|=5，
當且僅當（2x+2）（2x-3）≤0即-1≤x$≤\frac{3}{2}$時取等號，
∴f（x）的最小值為5，
∵關于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，
∴|3m-2|≥5，∴3m-2≥5或3m-2≤-5，
解得m≤-1或m≥$\frac{7}{3}$，
∴實數m的取值范圍是（-∞，-1]∪[$\frac{7}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，屬于中檔題．