Question

（2010•撫州模擬）在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，將該矩形沿對(duì)角線AC折成直二面角D-AC-B，則四面體ABCD的外接球的體積為

125π

6

．

Answer 1

分析：矩形ABCD中，由AB=4，BC=3，DB=AC=5，球心一定在過(guò)O且垂直于△ABC的直線上，也在過(guò)O且垂直于△DAC的直線上，這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)O 因此球半徑R=

AC

2

=2.5，由此能求出四面體ABCD的外接球的體積．

解答：解：矩形ABCD中，
∵AB=4，BC=3，
∴DB=AC=5，
設(shè)DB交AC與O，則O是△ABC和△DAC的外心，
球心一定在過(guò)O且垂直于△ABC的直線上，
也在過(guò)O且垂直于△DAC的直線上，這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)O
因此球半徑R=

AC

2

=2.5，
四面體ABCD的外接球的體積：
V=

4

3

×π×（2.5）³=

125π

6

．
故答案為：

125π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四面體ABCD的外接球的體積的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．