Question

已知下列命題：（1）已知函數f(x)=x+

p

x-1

（p為常數且p＞0），若f（x）在區間（1，+∞）的最小值為4，則實數p的值為

9

4

； （2）?x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx＞

2

；（3）正項等比數列{a_n}中：a₄．a₆=8，函數f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇），則f′(0)=16

2

；（4）若數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²-n+1，且b_n=2a_n+1，則數列{b_n}前n項和為T_n=4n²-n+2上述命題正確的序號是

 

．

Answer 1

分析：①將函數f（x）配成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性質進行求解．②根據sinx+cosx≤

2

，可知該命題是假命題；③利用等比數列的性質和定義，分別求出a₅=2

2

，a₃=

2

，a₇=4

2

，對函數f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）求導，即可求得f′(0)=16

2

，④根據題意b_n=2a_n+1，可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n，整體代入即可求得結果．

解答：解：①∵函數 f(x)=x+

p

x-1

=x-1+

p

x-1

+1≥2

p

+1（當且僅當x-1=

p

x-1

等號成立），
∴2

p

+1=4，∴p=

9

4

，∴（x-1）=

9 4

x-1

，解得x=

5

2

或-

1

2

，∴實數p=

9

4

，故該命題是真命題；
②∵sinx+cosx≤

2

，∴?x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx＞

2

是假命題；
③∵a₄．a₆=8，∴a₅=2

2

，a₃=

2

，a₇=4

2

，
∵f′（x）=（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₅），
∴f′（0）=a₃•a₅•a₇=16

2

，故正確；
④∵b_n=2a_n+1，數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²-n+1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n
=2S_n+n=4n²-n+2，故正確；
故答案為①③④．

點評：本題考查命題的真假判定，以及三角函數的最值和數列求和，導數等基礎知識，是一道綜合題，考查學生對基礎知識掌握的熟練程度，以及思維的轉換，是一道不錯的考題，屬中檔題．