Question

已知下列命題：
（1）θ是第二象限角；
（2）sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

；
（3）tan

θ

2

=

4

3

；
（4）tan

θ

2

=

3

4

；
（5）sin

θ

2

-cos

θ

2

=-

1

5

試以其中若干（一個或多個）命題為條件，然后以剩余命題中的若干命題為結論，組成新命題，并證明之．

Answer 1

分析：此題可先假設（1）θ是第二象限角；（2）sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

正確，證明（3）tan

θ

2

=

4

3

結論正確，我們可以利用同角公式求解，然后即可證明之．

解答：解：以（1）（2）為條件，以（3）為結論．
證明：因為θ是第二象限角，
所以kπ+

π

4

＜

θ

2

＜kπ+

π

2

，k∈Z．①
又sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

，
所以2kπ+π＜

θ

2

＜2kπ+

3

2

π，k∈Z．②
由①②可知2kπ+

5

4

π＜

θ

2

＜2kπ+

3

2

π．
又由sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

，得sin

θ

2

•cos

θ

2

=

12

25

，
所以

sin θ 2 •cos θ 2

sin2 θ 2 +cos2 θ 2

=

12

25

．分子分母同除以sin

θ

2

•cos

θ

2

可化得，
所以12tan²

θ

2

-25tan

θ

2

+12=0．
解得tan

θ

2

=

3

4

（舍），或tan

θ

2

=

4

3

．
∴tan

θ

2

=

4

3

．

點評：此題主要考查命題的真假判斷與應用及三角函數中同角關系這一知識點，此題的關鍵是明確題設和結論的含義，然后問題可解．