Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x⁴＋ax³＋2x²＋b(x∈R)，其中a，b∈R．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)僅在x＝0處有極值，求a的取值范圍；

(Ⅲ)若對于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：． 　　當(dāng)時(shí)， 　　． 　　令，解得，，． 　　當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 　　所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)． 　　(Ⅱ)解：，顯然不是方程的根． 　　為使僅在處有極值，必須恒成立，即有． 　　解此不等式，得．這時(shí)，是唯一極值． 　　因此滿足條件的的取值范圍是． 　　(Ⅲ)解：由條件可知，從而恒成立． 　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 　　因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者． 　　為使對任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 　　　　即 　　在上恒成立． 　　所以，因此滿足條件的的取值范圍是． 　　本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．滿分14分．