Question

已知函數f(x)＝x⁴－4x³＋ax²－1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減．

(1)求實數a的值；

(2)設g(x)＝bx²－1，若關于x的方程f(x)＝g(x)的解集恰有3個元素，求實數b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵(x)＝4x3－12x＋2ax 　　∴f(x)在[0，1]上是增函數，在[1，2]上是減函數， 　　∴(1)＝0，得a＝4． 　　(x)＝4x3－12x2＋8x＝4x(x－1)(x－2) 　　當x∈[0，1]時，(x)≥0，而f(x)在此區間上為增函數， 　　當x∈[1，2]時，(x)≤0，而f(x)在此區間上為減函數， 　　即a＝4符合題目要求． 　　(2)由f(x)＝g(x)，得x2(x2－4x＋4－b)＝0有3個相異的實根， 　　故x2－4x＋4－b＝0有兩個相異的非零根． 　　∴Δ＝16－4(4－b)＞0且4－b≠0， 　　得0＜b＜4或b＞4．