Question

【題目】如圖， 為正方形， 為直角梯形， ，平面平面，且.

（1）若和延長交于點，求證： 平面；

（2）若為邊上的動點，求直線與平面所成角正弦值的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先根據三角形中位線性質得為中點，再根據為平行四邊形得，最后根據線面平行判定定理得結論,（2）利用空間向量求線面角,關鍵求出平面法向量:先建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組求出平面法向量,根據向量數量積求出直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值,最后根據線面角與兩向量夾角之間關系求線面角正弦值,再根據自變量取值范圍求最小值.

試題解析：（1）證明：在梯形PDCE中，PD＝2EC， 為中點， ，且AB//CF， 為平行四邊形， 面， 面， BF∥平面PAC.

（2）方法一：令點在面PBD上的射影為， 直線與平面PDB所成角．

EC∥PD，所以EC平行于平面PBD，因為ABCD為正方形，所以，又因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，所以點C到面PBD的距離為，因為EC平行于平面PBD，所以點到PBD的距離，

令，所以，所以．

方法二：建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，可知平面PDB的一個法向量為， ， ，

，令直線與平面PDB所成角為，

．