Question

1．某公司計劃在一次聯誼會中設一項抽獎活動：在一個不透明的口袋中裝入外形一樣號碼分別為1，2，3，…，10的十個小球．活動者一次從中摸出三個小球，三球號碼有且僅有兩個連號的為三等獎；獎金300元，三球號碼都連號為二等獎，獎金600元；三球號碼分別為1，5，10為一等獎，獎金2400元；其余情況無獎金．求員工甲抽獎一次所得獎金X的分布列與期望．

Answer 1

分析 由題意知獎金X的所有可能取值為0，300，600，2400，顧客抽獎一次，基本事件總數為${∁}_{10}^{3}$=120，三球號碼有且僅有兩個連號的情況中，對應1，2與9，10的各有7種；對應2，3；…；8，9各有6種．可得P（X=300），三球號碼都連號為二等獎，只有1，2，3；2，3，4；…；8，9，10，共有8種情況，可得P（X=600）；一等獎只有一種情況，可得P（X=2400），利用對立事件的概率計算公式可得P（X=0）=1-P（X=300）-P（X=600）-P（X=2400），進而得出數學期望．

解答 解：由題意知獎金X的所有可能取值為0，300，600，2400，
顧客抽獎一次，基本事件總數為${∁}_{10}^{3}$=120，
三球號碼有且僅有兩個連號的情況中，對應1，2與9，10的各有7種；對應2，3；…；8，9各有6種．
∴P（X=300）=$\frac{7×2+6×7}{120}$=$\frac{7}{15}$，
三球號碼都連號為二等獎，只有1，2，3；2，3，4；…；8，9，10，共有8種情況，∴P（X=600）=$\frac{8}{120}$=$\frac{1}{15}$，
一等獎只有一種情況，∴P（X=2400）=$\frac{1}{120}$，
P（X=0）=1-$\frac{7}{15}$-$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{120}$=$\frac{11}{24}$．
∴X的分布列為：

X	0	300	600	2400
P	$\frac{11}{24}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{120}$

EX=0+300×$\frac{7}{15}$+$600×\frac{1}{15}$+2400×$\frac{1}{120}$=200．

點評 本題考查了古典概率計算公式及其隨機變量的數學期望，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．