Question

已知函數，．

(1)當b＝0時，若f(x)在(－∞，2]上單調遞減，求a的取值范圍；

(2)求滿足下列條件的所有整數對(a，b)：存在x₀，使得f(x₀)是f(x)的最大值，g(x₀)是g(x)的最小值；

(3)對滿足(Ⅱ)中的條件的整數對(a，b)，試構造一個定義在D＝{x|x∈R且x≠2k，k∈Z}上的函數h(x)：使h(x＋2)＝h(x)，且當x∈(－2，0)時，h(x)＝f(x)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)當時，， 　　若，，則在上單調遞減，符合題意； 　　若，要使在上單調遞減， 　　必須滿足∴．綜上所述，a的取值范圍是　(4分)． 　　(2)若，，則無最大值， 　　故，∴為二次函數， 　　要使有最大值，必須滿足即且， 　　此時，時，有最大值． 　　又取最小值時，， 　　依題意，有，則， 　　∵且，∴，得，此時或． 　　∴滿足條件的整數對是．　(6分) 　　(3)當整數對是時， 　　，是以2為周期的周期函數， 　　又當時，，構造如下：當，則， 　　， 　　故　(6分)