Question

若函數f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列．
（1）求m的值．
（2）若點A（x，y）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x∈[0，]，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式將f（x）=sin²ax-sinaxcosax化為f（x）=-sin（2ax+）+，結合函數圖象可得所以m為f（x）的最大值或最小值．
（2）切點的橫坐標依次成公差為 的等差數列．得出f（x）的最小正周期為．從而a=2，確定出f（x）解析式．若點A（x，y）是y=f（x）圖象的對稱中心則應有y=0=f（x），利用特殊角的三角函數值解此方程求出x．
解答：解：（1）f（x）=（1-cos2ax）-sin2ax
=-（sin2ax+cos2ax）+=-sin（2ax+）+
因為y=f（x）的圖象與y=m相切．所以m為f（x）的最大值或最小值．
即m=或m=．
（2）因為切點的橫坐標依次成公差為的等差數列，所以f（x）的最小正周期為．
由T==得a=2．
∴f（x）=-sin（4x+）+．
由sin（4x+）=0得4x+=kπ，即x=-（k∈Z）．
由0≤-≤得k=1或k=2，
因此點A的坐標為（，）或（，）
點評：本題考查三角函數公式的應用（包括正用，逆用）、三角函數圖象及性質（最值、周期、對稱點）、特殊角的三角函數值．需有轉化、計算、方程的思想和能力．