Question

17．已知曲線C：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx在點P（x₀，y₀）（-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0）處的切線斜率為$\sqrt{3}$，則曲線C在點P處的切線方程為$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．

Answer 1

分析 求得函數導數，可得切線的斜率，由兩角和的余弦公式，可得切點坐標，再由點斜式方程，可得切線方程．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的導數為y′=cosx-$\sqrt{3}$sinx，
可得在點P（x₀，y₀）（-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0）處的切線斜率為cosx₀-$\sqrt{3}$sinx₀
=2cos（x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0，
解得x₀=-$\frac{π}{6}$，
則P（-$\frac{π}{6}$，-2），
即有曲線C在點P處的切線方程為 y+2=$\sqrt{3}$（x+$\frac{π}{6}$），
即為$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．
故答案為：$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查三角函數的求值，考查運算能力，屬于中檔題．