Question

已知數(shù)列{a_n}是非常值數(shù)列的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，若T_2n-T_n≥t對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式表示出相應(yīng)的項，待定系數(shù)法設(shè)出首項和公差，根據(jù)S₅=25，a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列列出關(guān)于首項和公差的方程組，通過求解該方程組求出首項和公差，進而寫出該數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項公式寫出數(shù)列{b_n}的通項公式，，利用作差法，判斷數(shù)列{A_n}的單調(diào)性，從而求得
T_2n-T_n≥t對一切正整數(shù)n恒成立時實數(shù)t的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，，
∴a₃=5．
a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列．則25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）•2=2n-1．
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ），
，
則
=，∴．
實數(shù)t的取值范圍為：
點評：本題考查待定系數(shù)法，考查學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的理解能力，以及利用作差法判定數(shù)列的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)特性，同時考查了運算能力，屬難題．