Question

已知數列{a_n}是非常值數列的等差數列，S_n為其前n項和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比數列；
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

2

an+1

，T_n為數列{b_n}的前n項和，若T_2n-T_n≥t對一切正整數n恒成立，求實數t的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式表示出相應的項，待定系數法設出首項和公差，根據S₅=25，a₁，a₃，a₁₃成等比數列列出關于首項和公差的方程組，通過求解該方程組求出首項和公差，進而寫出該數列的通項公式；
（2）根據數列{a_n}的通項公式寫出數列{b_n}的通項公式，令An=T2n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，利用作差法，判斷數列{A_n}的單調性，從而求得
T_2n-T_n≥t對一切正整數n恒成立時實數t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，S5=

a1+a5

2

•5=

2•a3

2

•5=a3•5=25，
∴a₃=5．
a₁，a₃，a₁₃成等比數列．則25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）•2=2n-1．
數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）bn=

2

an+1

=

2

2n-1+1

=

1

n

，Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
令An=T2n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
則An+1-An=(

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

)-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=-

1

n+1

+

1

2n+1

+

1

2n+2

=-

1

2n+2

+

1

2n+1

＞0，∴An≥A1=

1

2

．
實數t的取值范圍為：t≤

1

2

點評：本題考查待定系數法，考查學生對等差數列通項公式的理解能力，以及利用作差法判定數列的單調性，體現了數列的函數特性，同時考查了運算能力，屬難題．