Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，當(dāng)0≤y≤b（b∈R）時(shí)，由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y=f（x），則拋物線y=-

1

2

x2的焦點(diǎn)F到點(diǎn)（a，b）的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件當(dāng)0≤y≤b（b∈R）時(shí)，由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y=f（x），可知方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，故有-a+1=0，又由圓的幾何特征及確定一個(gè)偶函數(shù)y=f（x）知，y的取值范圍是[0，1]，由此可以求出b的取值范圍，由此點(diǎn)（a，b）的軌跡求知，再由拋物線的性質(zhì)求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

2

），最大距離可求

解答：解：由題意可得圓的方程一定關(guān)于y軸對(duì)稱，故由-a+1=0，求得a=1
由圓的幾何性質(zhì)知，只有當(dāng)y≤1時(shí)，才能保證此圓的方程確定的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，故0＜b≤1
由此知點(diǎn)（a，b）的軌跡是一個(gè)線段，其橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)屬于（0，1]
又拋物線y=-

1

2

x2故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

2

）
由此可以判斷出焦點(diǎn)F到點(diǎn)（a，b）的軌跡上點(diǎn)的距離最大距離是

(1-0)2+(1+ 1 2 )2

=

13

2

故答案為

13

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及圓的幾何特征，偶函數(shù)的圖象特征，兩點(diǎn)間的距離公式，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)所給的題設(shè)條件判斷出點(diǎn)（a，b）的軌跡，此過(guò)程比較抽象，應(yīng)好好體會(huì)，由圓的特征知當(dāng)縱坐標(biāo)的軸大于1時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)y對(duì)應(yīng)一個(gè)x的情況，這顯然不符合函數(shù)的定義，故得出y的取值范圍是[0，1]，函數(shù)定義在這個(gè)地方的運(yùn)用，十分隱蔽，極難想到，且此類題不多見，應(yīng)充分利用本題好好體會(huì)一下．本題易因?yàn)橥�記了函�?shù)的定義而求得y的取值范圍是[0，2]，從而得到b的取值范圍是[0，2]，導(dǎo)致錯(cuò)誤．