Question

12．已知設函數f（x）=log_a（1+2x）-log_a（1-2x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的真數要大于0列不等式組求解定義域．
（2）利用定義判斷函數的奇偶性．
（3）f（x）＞0，即log_a（1+2x）-log_a（1-2x）＞0，對底數a討論，求解x的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=log_a（1+2x）-（log_a（1-2x）（a＞0，a≠1）．
其定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}{1+2x＞0}\\{1-2x＞0}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$
故得f（x）的定義域為{x|$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$}
（2）由（1）可知f（x）的定義域為{x|$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$}，關于原點對稱．
又∵f（-x）=log_a（1-2x）-（log_a（1+2x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數．
（3）f（x）＞0，即log_a（1+2x）-log_a（1-2x）＞0，⇒log_a（1+2x）＞log_a（1-2x）
 當a＞1時，原不等式等價為：1+2x＞1-2x，解得：x＞0．
當0＜a＜1時，原不等式等價為：1+2x＜1-2x，解得：x＜0．
又∵f（x）的定義域為（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
所以使f（x）＞0的x的取值范圍，當a＞1時為（0，$\frac{1}{2}$）；當0＜a＜1時為（$-\frac{1}{2}$，0）；

點評 本題考查了對數函數的定義域的求法和奇偶性的運用，比較基礎．