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已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點,經過點(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(不同于點E),直線EA,EB分別交直線-2于點M,N.
(1)求拋物線方程及其焦點坐標;
(2)已知O為原點,求證:以MN為直徑的圓恰好經過原點.
分析:(1)將E(2,2)代入y2=2px,可得拋物線方程及其焦點坐標;
(2)設出直線方程代入拋物線方程,利用韋達定理及向量知識,計算
OM
ON
=0,即可得到結論.
解答:(1)解:將E(2,2)代入y2=2px,得p=1
所以拋物線方程為y2=2x,焦點坐標為(
1
2
,0)

(2)證明:設A(
y12
2
y1)
B(
y22
2
y2)
,M(xM,yM),N(xN,yN),
設直線l方程為x=my+2,與拋物線方程聯立,消去x,得:y2-2my-4=0
則由韋達定理得:y1y2=-4,y1+y2=2m
直線AE的方程為:y-2=
y1-2
y12
2
-2
(x-2)
,即y=
2
y1+2
(x-2)+2

令x=-2,得yM=
2y1-4
y1+2

同理可得:yN=
2y2-4
y2+2

OM
ON
=4+yMyN=4+
4(y1-2)(y2-2)
(y1+2)(y2+2)
=4+
4(-4-2m+4)
4(-4+2m+4)
=0
∴OM⊥ON,即∠MON為定值
π
2
點評:本題考查拋物線方程,考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的一點,過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得:
在y2=2px兩邊同時對x求導,得:2yy′=2p,則y′=
p
y
,所以過P的切線的斜率:k=
p
y0
試用上述方法求出雙曲線x2-
y2
2
=1
P(
2
2
)
處的切線方程為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知P(x,y)是拋物線y2=-8x的準線與雙曲線
x2
8
-
y2
2
=1
的兩條漸近線所圍成的三角形平面區域內(含邊界)的任意一點,則z=
y+2
x
的范圍是
[
1
2
, +∞)
[
1
2
, +∞)

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科目:高中數學 來源:山東省濟寧市金鄉二中2012屆高三11月月考數學文科試題 題型:044

已知雙曲線C:的一個焦點是拋物線y2=2x的焦點,且雙曲線C經過點(1,),又知直線l:y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點.

(1)求雙曲線C的方程;

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科目:高中數學 來源: 題型:

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科目:高中數學 來源:九江模擬 題型:填空題

已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的一點,過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得:
在y2=2px兩邊同時對x求導,得:2yy′=2p,則y′=
p
y
,所以過P的切線的斜率:k=
p
y0
試用上述方法求出雙曲線x2-
y2
2
=1
P(
2
2
)
處的切線方程為______.

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