Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列b_n滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{}的前n項和，求T_n
（3）（只理科作）接（2）中的T_n，求證：T_n≥．

Answer 1

解：（1）當n∈N₊時，S_n=2a_n-2n，
則當n≥2，n∈N₊時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
①-②，a_n=2a_n-2a_n-1-2，a_n=2a_n-1+2
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴，n=1時 S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴{a_n+2}是a₁+2=4為首項2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）證明b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
∴，
則，
∴④
③-④，=
=
=
∴．
（3）n≥2時，
∴{T_n}為遞增數(shù)列
∴
∴
分析：（1）由S_n與a_n的關(guān)系S_n=2a_n-2n利用仿寫的方法消去S_n^得到a_n+2=2（a_n-1+2），再利用等比數(shù)列的定義求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ⁺¹-2所以b_n=n+1∴利用錯位相減可得∴．
（3）利用證明T_n是遞增數(shù)列，求其最小值即可．
點評：本題考查S_n與a_n以及錯位相減法的運用，求通項與求和是高考的熱點，數(shù)列與不等式相結(jié)合的綜合題也是常考內(nèi)容，此類問題多與數(shù)列的單調(diào)性相關(guān)．