Question

(本題滿分16分)

已知圓，相互垂直的兩條直線、都過點.

（Ⅰ）當時，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；

（Ⅱ）當時，求、被圓所截得弦長之和的最大值，并求此時直線的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓的半徑為，易知圓心到點的距離為，

∴ ，                  ………………………………4分

解得且∴圓的方程為.  ……………7分

（Ⅱ）當時，設圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點分別為，弦長分別為，因為四邊形是矩形，所以,即

，化簡得.    ……………………10分

從而，

∴，當且僅當時等號成立.

∴當時，有，

即、被圓所截得弦長之和的最大值為.               ……………13分

此時，顯然直線的斜率存在，設直線的方程為：，

則，.                  …………………………15分

∴直線的方程為：或.       …………………………16分