Question

（本小題滿分12分）
已知函數，
（Ⅰ）討論函數的單調區間和極值點；
（Ⅱ）若函數有極值點，記過點與原點的直線斜率為。是否存在使？若存在，求出值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；
（2）不存在使過點與原點的直線斜率。

試題分析：（1）因為                 (1分)
所以， 恒成立。因此 （3分）
在
因此 （5分）
（2）由（1）可知，在存在極小值.
∴,由條件
∴               (7分)
（注：此處也可以用換元法，轉證t-lnt=0（t=a/3）無解。采分相同）
設（）                   (8分)
時，且當時，遞減；
當時，遞增；              (10分)
在處取得最小值，；無零點.
即無解，
所以不存在使過點與原點的直線斜率     （12分）
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）通過研究函數的極值情況，確定得到含a的方程，通過研究方程解的有無，明確a的存在性。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。