Question

18．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，AA₁=$\sqrt{2}$，E，F分別是BC，CC₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-AEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AE⊥BB₁，AE⊥BC，由此能證明平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）${S}_{△{B}_{1}EF}$=${S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△EFC-${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}$，三棱錐B₁-AEF的體積${V}_{{B}_{1}-AEF}={V}_{A-{B}_{1}EF}$，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，AA₁=$\sqrt{2}$，
∴BB₁⊥平面ABC，
又AE?平面ABC，∴AE⊥BB₁，
∵E，F分別是BC，CC₁的中點，
∴AE⊥BC，
又BB₁∩BC=B，
則AE⊥平面B₁BCC₁．
AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
解：（Ⅱ）${S}_{△{B}_{1}EF}$=${S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△EFC-${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}$
=$2×\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴三棱錐B₁-AEF的體積：
${V}_{{B}_{1}-AEF}={V}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}EF}×AE$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．