Question

C是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上位于第一象限內的點，A，B分別是橢圓的左頂點和上頂點，F是橢圓的右焦點，且OC=OF，AB∥OC，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出A，B的坐標，求得AB的斜率，再由兩直線平行的條件可得直線OC的方程，聯立橢圓方程解得交點C，再由OC=c，結合離心率公式，即可得到．

解答： 解：A，B分別是橢圓的左頂點和上頂點，
即為A（-a，0），B（0，b），
則直線AB的斜率為

b

a

，
由于AB∥OC，則k_OC=

b

a

，
設直線OC：y=

b

a

x，
則聯立橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
解得交點C（

2

2

a，

2

2

b），
由|OC|=|OF|，可得，

1

2

（a²+b²）=c²，
即有a²+a²-c²=2c²，
即2a²=3c²，
則e=

c

a

=

6

3

．
故答案為：

6

3

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查離心率的求法，考查兩直線平行的條件和聯立直線方程和橢圓方程求交點的方法，考查運算能力，屬于中檔題．