Question

【題目】在正三棱柱中， ， ，點為的中點.

（I）求證： ；

（II）若點為上的點，且滿足，若二面角的余弦值為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于，則為的中點連接，則，由此能證明平面.
（Ⅱ）過作 于，則 平面，過作 ，垂足為，連，則為二面角的一個平面角.由此利用二面角的余弦值為余弦值為，可求實數的值.

試題解析：（Ⅰ）證明，連接交于，則為的中點

連接，則，而平面

所以平面；

（Ⅱ）方法一：過作 于，則 平面，過作 ，垂足為，連，則 ，所以為二面角的一個平面角.

設，則，所以，所以

因為， 所以

故

因，故，解得

此時， 點為的中點，所以

方法二：建立如圖所示空間直角坐標系，過作于，則平面，設，則， ， ，所以，

依題意為平面的一個法向量，

設為平面一個法向量，

則由可得

所以解得，所以