Question

已知函數 f（x）=

1+a•2x

2x+1

 是奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性并用定義法證明；
（3）若函數f（x）的圖象經過點（1，-

1

3

），這對任意x∈R不等式f（x²-2mx+m+1）≤-

1

3

恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數是奇函數的性質，由f（0）=0解a即可．
（2）利用定義證明還是函數單調性．
（3）利用函數的單調性解不等式即可．

解答：解：（1）因為函數的定義域為R，且函數為奇函數，所以f（0）=0，
即f（0）=

1+a

2

=0，解得a=-1．
（2）因為a=-1，所以f(x)=

1-2x

1+2x

，
設x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
因為x₁0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數為減函數．
（3）因為函數f（x）的圖象經過點（1，-

1

3

），所以f（1）=-

1

3

，
所以不等式f（x²-2mx+m+1）≤-

1

3

等價為f（x²-2mx+m+1）≤f（1），
由（2）知函數為減函數，
所以x²-2mx+m+1≥1恒成立，即x²-2mx+m≥0恒成立．
所以△=4m²-4m≤0，解得0≤m≤1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性的判斷和證明，利用定義法是證明函數單調性的基本方法．