Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N⁺）．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）若數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，記{b_n}的前n項和為T_n，當n≥2時，試比較2S_n與T_n+n的大小．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n-n    ①
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1） ②
②-①得a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1）
又∵a₁=2a₁-1，∴a₁=1
∴數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ∴a_n=2ⁿ-1
由于a₁=1也適合上式，∴a_n=2ⁿ-1（n∈N⁺）
（2）∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，b₁=1，則 b_n=2n-1，
∴T_n==n²，
∴T_n+n=n²+n
∵S_n=2a_n-n，a_n=2ⁿ-1
∴2S_n=2ⁿ⁺²-2n-4，
當n=2時，2S_n=8，T_n+n=6，2S_n＞T_n+n，
下面用分析法證當n＞2時，2S_n＞T_n+n
要證明  2ⁿ⁺²-2n-4＞n²+n，
即證    2ⁿ⁺²＞n²+3n+4，
即證   （1+1）ⁿ⁺²＞n²+3n+4，
∵（1+1）ⁿ⁺²=c_n+2⁰+c_n+2¹+c_n+2²+…+c_n+2ⁿ+c_n+2ⁿ⁺¹+c_n+2ⁿ⁺²
∵n＞2，c_n^k=c_n^n-k
∴（1+1）ⁿ⁺²≥2（C_n+2⁰+C_n+2¹+C_n+2²）=n²+5n+8，當n=3時取等號，
綜上可得：當n≥2時，2S_n＞T_n+n
分析：（1）由S_n=2a_n-n得，該數列的遞推公式，再進行變形構造新的特殊數列，求通項公式a_n．
（2）由題意列出數列的遞推公式，得到該數列{b_n}為等差數列，再求出T_n，比較大小時用二項式定理，并用分析法進行證明．
點評：本題涉及到前n項和公式與通項公式的關系、遞推公式，分別求數列的通項公式和前n項和，并用待定系數法；在比較大小時用到二項式定理，還有分析法證明，考查知識面廣，有一定難度．