Question

等比數列{a_n}中，a₁＞1，前n項和為S_n，若

lim

n→∞

S_n=

1

a1

，那么a₁的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：數列的極限

專題：等差數列與等比數列

分析：設等比數列{a_n}的公比為q，依題意，|q|＜1且q≠0，依題意，可求得

a1

1-q

=

1

a1

，利用其公比|q|＜1且q≠0及已知a₁＞1，即可求得a₁的取值范圍．

解答： 解：設等比數列{a_n}的公比為q，依題意，|q|＜1且q≠0，
因為其前n項和S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
所以，

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，又

lim

n→∞

S_n=

1

a1

，
所以，

a1

1-q

=

1

a1

，
所以，q=1-a12，由|q|=|1-a12|＜1得：0＜a12＜2，且a₁≠±1，又a₁＞1，
那么a₁的取值范圍為（1，

2

）．
故答案為：（1，

2

）．

點評：本題考查無窮遞縮等比數列的極限，利用其公比|q|＜1且q≠0作為解題的突破口是關鍵，考查等比數列的求和公式解不等式的能力，考查轉化思想．