Question

給定函數f（x）和常數a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“好數對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“類好數對”．已知函數f（x）的定義域為[1，+∞）．
（Ⅰ）若（1，1）是函數f（x）的一個“好數對”，且f（1）=3，求f（16）；
（Ⅱ）若（2，0）是函數f（x）的一個“好數對”，且當1＜x≤2時，f（x）=

2x-x2

，求證：函數y=f（x）-x在區間（1，+∞）上無零點；
（Ⅲ）若（2，-2）是函數f（x）的一個“類好數對”，f（1）=3，且函數f（x）單調遞增，比較f（x）與

x

2

+2的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，則f（2ⁿ）=f（2^n-1）+1，從而可得則數列{f（2ⁿ）}成等差數列，從而求解；
（Ⅱ）先證明當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時，f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2nf(

x

2n

)=2n

2x 2n -( x 2n )2

=

2n+1x-x2

，從而令

2n+1x-x2

=x，無解，從而說明函數y=f（x）-x在區間（1，+∞）上無零點；
（Ⅲ）由題意，f（2x）≥2f（x）-2，從而可證f（2ⁿ）≥2ⁿ+2；進而可得f（x）＞f（2^n-1）≥2^n-1+2≥

x

2

+2．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，
則f（2ⁿ）=f（2^n-1）+1，
則數列{f（2ⁿ）}成等差數列，公差為d=1，首項f（1）=3，
于是f（16）=7；
（Ⅱ）證明：當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時，1＜

x

2n

≤2，
則由題意得，
f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2nf(

x

2n

)=2n

2x 2n -( x 2n )2

=

2n+1x-x2

；
由f（x）-x=0得，

2n+1x-x2

=x，
解得x=0或x=2ⁿ均不符合條件；
即當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時，函數y=f（x）-x在區間（1，+∞）上無零點；
注意到（1，+∞）=（1，2]∪（2，2²]∪…∪（2ⁿ，2ⁿ⁺¹]∪…
故函數y=f（x）-x在區間（1，+∞）上無零點；
（Ⅲ）由題意，f（2x）≥2f（x）-2，
則f（2ⁿ）≥2f（2^n-1）-2，
即f（2ⁿ）-2≥2[f（2^n-1）-2]；
于是f（2ⁿ）-2≥2[f（2^n-1）-2]≥2²[f（2^n-1）-2]≥…≥2ⁿ，
即f（2ⁿ）≥2ⁿ+2；
而對任意x＞1，必存在n∈N^*，使得2^n-1＜x≤2ⁿ；
由f（x）單調遞增得，
f（2^n-1）＜f（x）≤f（2ⁿ）；
則f（x）＞f（2^n-1）≥2^n-1+2≥

x

2

+2；
故f（x）＞

x

2

+2．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力，同時考查了數列與函數的關系及應用，屬于難題．