Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂．左、右頂點分別為A、B，虛軸的上、下端點分別為C、D．若線段BC與雙曲線的漸近線的交點為E，且∠BF₁E=∠CF₁E，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 1+$\sqrt{6}$
• B． 1+$\sqrt{5}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． 1+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，求得CB的方程，解得E的坐標，即為中點，運用等腰三角形的性質，可得CF₁=BF₁，再由兩點的距離公式和離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
由B（a，0），C（0，b），可得直線CB的方程為bx+ay=ab，
聯立漸近線方程y=$\frac{b}{a}$x，解得E（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
即有E為CB的中點，
由∠BF₁E=∠CF₁E，
即F₁E平分∠CF₁B，
可得三角形CF₁B為等腰三角形，
即有CF₁=BF₁，即$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=a+c，
又a²+b²=c²，可得c²=2a²+2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，等腰三角形的性質，以及方程的思想，考查運算能力，屬于中檔題．