Question

（理）已知向量， （n為正整數），函數，設f（x）在（0，+∞）上取最小值時的自變量x取值為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}，對任意正整數n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，設S_n為數列{b_n}的前n項和，求；
（3）在點列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在兩點A_i，A_j（i，j為正整數）使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，則求出所有的數對（i，j）；若不存在，請你寫出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平面向量數量積的坐標公式，代入得f（x）=是一個關于x二次函數，其圖象是開口向上拋物線，在對稱軸處函數取到最小值，由二次函數對稱軸方程，得到數列{a_n}的通項公式；
（2）根據（1）的結論，將代入b_n的表達式，得到，用裂項的方法求出其前n項和S_n的表達式，最后可得其極限的值；
（3）對于這類問題，我們可以先假設存在滿足條件的數對（i，j），然后再進行推理可得結論．具體作法：任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），設A_iA_j 所在直線的斜率為k_ij，則 ，從而得到不存在滿足條件的數對（i，j），得出結論．
解答：解：（1）f（x）=…（2分）
函數y=f（x）的圖象是一條拋物線，拋物線的頂點橫坐標為，
開口向上，在（0，+∞） 上，當 時函數取得最小值，
所以；…（4分）
（2）將（1）中{a_n}的表達式代入，得．…（6分）
∴，…（8分）
所以所求的極限為：=；…（10分）
（3）任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），設A_iA_j 所在直線的斜率為k_ij，
則 =．
因此不存在滿足條件的數對（i，j），使直線A_iA_j的斜率為1．…（16分）
點評：本題綜合了數列與向量、數列與函數以及數列的極限等知識點，是一道難題．對思維的要求較高，考查了轉化化歸和函數與方程的數學思想．