Question

已知，．
（1）當n=1，2，3時，分別比較f（n）與g（n）的大�。ㄖ苯咏o出結論）；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）當n=1時，f（1）=1，，f（1）＞g（1），
當n=2時，，，f（2）＞g（2），
當n=3時，，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，上面已證．
②假設當n=k時，猜想成立，即
則當n=k+1時，=；
而，
下面轉化為證明：
只要證：，
需證：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即證：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式顯然成立．
所以，當n=k+1時猜想也成立．
綜上可知：對n∈N*，猜想都成立，即成立．