Question

已知函數．
（1）當x≥1時，證明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）若數列{a_n}滿足，證明數列{b_n}是等比數列，并求出數列{b_n}、{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），證明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜．

Answer 1

解：（1）方法一：∵x≥1，∴
而x≥1時，lnx≥0∴x≥1時，f（x）-x≤lnx，∴當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：令φ（x）=f（x）-x-lnx（x≥1），，，∵x≥1，∴，∴，
故φ（x）是定義域[1，+∞）上的減函數，∴當x≥1時，φ（x）≤φ（1）=0恒成立．
即當x≥1時，恒成立．∴當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立．（4分）
（2）a_n+1=f（a_n），∴，∵，
∴=，
又，∴b_n是首項為，公比為的等比數列，其通項公式為．
又，．（10分）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=，．
分析：（1）方法一：先證明f（x）-x≤0，再證明lnx≥0，從而不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：構造函數φ（x）=f（x）-x-lnx；利用導數判斷單調性，求出函數最大值φ（1），而φ（1）=0，從而不等式恒成立．
（2）先利用a_n+1=f（a_n）通過取倒數變形，然后根據等比數列的定義，求出公比，從而證得．
（3）利用（2）問中求出的{a_n}的通項公式，代入c_n=a_n•a_n+1•b_n+1中，并用分離法拆成兩項之差，然后用疊加法即可解答．
點評：此題考查函數導數的應用，等比數列常規證明及裂項后用疊加的方法．