Question

已知函數．
（1）當x=1時函數y=f（x）取得極小值，求a的值；
（2）求函數y=f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），求出導函數，利用x=1時函數y=f（x）取得極小值，可得f'（1）=0，從而可知a=1．再驗證x=1是函數y=f（x）的極小值點即可． 
（2）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），求導函數，令f'（x）=0，得．分a＜0，a＞0討論，從而確定，函數y=f（x）的單調遞減區間與單調遞增區間．
解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），…（1分）．                                                    …（3分）
∵x=1時函數y=f（x）取得極小值，
∴f'（1）=0．                                                        …（4分）
∴a=1．                                                           …（5分）
當a=1時，在（0，1）內f'（x）＜0，在（1，+∞）內f'（x）＞0，…（6分）
∴x=1是函數y=f（x）的極小值點．
∴a=1有意義．                                                     …（7分）
（2）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
．
令f'（x）=0，得．                                            …（9分）
①當a＜0時，

x				（0，+∞）
f'（x）	-		+	+
f（x）	↘	極小值	↗	↗

∴當a＜0時，函數y=f（x）的單調遞減區間為，單調遞增區間為，（0，+∞）；
②當a＞0時，

x	（-∞，0）
f'（x）	-	-		+
f（x）	↘	↘	極小值	↗

∴當a＞0時，函數y=f（x）的單調遞減區間為（-∞，0），，單調遞增區間為．…（14分）
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值的求法，同時考查利用導數求函數的單調區間，解題時應注意分類討論．