Question

已知函數．
（1）當a=時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）當a=2時，試比較f（x）與1的大小；
（3）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對f（x）求導，再令f^′（x）=0，求出極值點，進而可得出單調區間和極值；
（2）令h（x）=f（x）-1，再求導，利用單調性即可比較出f（x）與1的大小；
（3）利用（2）的結論，即可證出．
解答：解：（1）當時，，定義域是（0，+∞）．
∴=．
令f^′（x）=0，解得或x=2．
∵當時，或x＞2時，f^′（x）＞0；當時，f^′（x）＜0．
∴函數f（x）在或（2，+∞）上單調遞增；在上單調遞減．
∴函數f（x）的極大值是，極小值是．
（2）當a=2時，f（x）=lnx+，定義域為（0，+∞）．
令h（x）=f（x）-1=，定義域為（0，+∞）．
∵h^′（x）==＞0，
∴h（x）在（0，+∞）是增函數．
①當x＞1時，h（x）＞h（x）=0，∴f（x）＞1．
②當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，∴f（x）＜1．
③當x=1時，h（1）=0，∴f（x）=1．
（3）根據（2）的結論，
當x＞1時，，即．
令，代入得．
∴，
依次取n=1，2，…，n．再相加即可得出：
．
點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性與極值是解題的關鍵．