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對一切nN(a+b)n(an+bn)≥22n2n+1

 

答案:
解析:

分析  如果不等式是關于自然數命題的形式,又無好的切入點時,不妨試用數學歸納法來證明.

證明:(1)當n=1時,左邊=(a+b)-(a+b)=0,右邊=22-22=0,所以左=右,因此原不等式成立.

(2)假設n=k時,不等式成立,即(a+b)k-(ak+bk)≥22k-2k+1.則n=k+1

于是有ab=a+b≥4.因此

(a+b)k+1-(ak+1+bk+1)

=(a+b)(a+b)k-(a+b)(ak+bk)+(a+b)(ak+bk)-(ak+1+bk+1)

=(a+b)[(a+b)k-(ak+bk)]+(ak+1+bk+1)+abk+bak-(ak+1+bk+1)

所以n=k+1時,原不等式成立.

<

綜合(1),(2),對于任意的自然數n,原不等式成立.

 


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
2x+3
3x
,數列{an}滿足:a1=1,a n+1=f(
1
an
),
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2na2n+1求Tn
(3)設bn=
1
an-1an
(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+b3+…+bn,若Sn
k-2004
2
對一切n∈N*成立,求最小的正整數m的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的前n項和為Sn,對一切n∈N*,點(n,Sn)在函數f(x)=x2+x的圖象上.
(1)求an的表達式;
(2)設An為數列{
1(an-1)(an+1)
}的前n項和,是否存在實數a
,使得不等式An<a對一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(3)將數列{an}依次按1項,2項循環地分為(a1),(a2,a3),(a4),(a5,a6),(a7),(a8,a9),(a10),
…,分別計算各個括號內各數之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{bn},求b100的值;
(4)如果將數列{an}依次按1項,2項,3項,4項循環;分別計算各個括號內各數之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{bn},提出同(3)類似的問題((3)應當作為特例),并進行研究,你能得到什么樣的結論?

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科目:高中數學 來源:數學教研室 題型:044

對一切nN,(a+b)n(an+bn)≥22n2n+1

 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的前n項和為Sn,對一切n∈N*,點(n,Sn)在函數f(x)=x2+x的圖象上.

(1)求an的表達式.

(2)將數列{an}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10);(a11),(a 12,a13),(a14,a15,a16),(a17,a18,a19,a20);(a21),…,分別計算各個括號內各數之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{bn},求b5+b100的值.

(3)設An為數列{}的前n項積,是否存在實數a,使得不等式An<a對一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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