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對一切n∈N，(a+b)ⁿ－(aⁿ+bⁿ)≥2²ⁿ－2ⁿ⁺¹．

答案：
解析：

分析　如果不等式是關于自然數命題的形式，又無好的切入點時，不妨試用數學歸納法來證明．

證明:(1)當n=1時，左邊=(a+b)－(a+b)=0，右邊=2²－2²=0，所以左=右，因此原不等式成立．

(2)假設n=k時，不等式成立，即(a+b)^k－(a^k+b^k)≥2^2k－2^k⁺¹．則n=k+1

于是有ab=a+b≥4．因此

(a+b)^k⁺¹－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

=(a+b)(a+b)^k－(a+b)(a^k+b^k)+(a+b)(a^k+b^k)－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

=(a+b)[(a+b)^k－(a^k+b^k)]+(a^k⁺¹+b^k⁺¹)+ab^k+ba^k－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

所以n=k+1時，原不等式成立．

綜合(1)，(2)，對于任意的自然數n，原不等式成立．

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已知函數f（x）=

2x+3

，數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f（

），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1求T_n；
（3）設b_n=

an-1an

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k-2004

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（1）求a_n的表達式；
（2）設An為數列{

1	(an-1)(an+1)

}的前n項和，是否存在實數a，使得不等式A_n＜a對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）將數列{a_n}依次按1項，2項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果將數列{a_n}依次按1項，2項，3項，4項循環；分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，提出同（3）類似的問題（（3）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

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對一切n∈N，(a+b)ⁿ－(aⁿ+bⁿ)≥2²ⁿ－2ⁿ⁺¹．

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設數列{a_n}的前n項和為S_n,對一切n∈N^*,點(n,S_n)在函數f(x)=x²+x的圖象上.

(1)求a_n的表達式.

(2)將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為(a₁),(a₂,a₃),(a₄,a₅,a₆),(a₇,a₈,a₉,a₁₀);(a₁₁),(a₁₂,a₁₃),(a₁₄,a₁₅,a₁₆),(a₁₇,a₁₈,a₁₉,a₂₀);(a₂₁),…,分別計算各個括號內各數之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n},求b₅+b₁₀₀的值.

(3)設A_n為數列{}的前n項積,是否存在實數a,使得不等式A_n＜a對一切n∈N^*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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