Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n,對一切n∈N^*,點(n,S_n)在函數f(x)=x²+x的圖象上.

(1)求a_n的表達式.

(2)將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為(a₁),(a₂,a₃),(a₄,a₅,a₆),(a₇,a₈,a₉,a₁₀);(a₁₁),(a ₁₂,a₁₃),(a₁₄,a₁₅,a₁₆),(a₁₇,a₁₈,a₁₉,a₂₀);(a₂₁),…,分別計算各個括號內各數之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n},求b₅+b₁₀₀的值.

(3)設A_n為數列{}的前n項積,是否存在實數a,使得不等式A_n＜a對一切n∈N^*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)因為點(n,S_n)在函數f(x)=x²+x的圖象上,所以S_n=n²+n.

當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=n²+n-［(n-1)²+(n-1)］=2n.

當n=1時,a₁=S₁=2,滿足a_n=2n.

所以a_n=2n(n∈N^*).

(2)因為a_n=2n(n∈N^*),所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….將每一次循環記為一組.由于每一個循環含有4個括號,故b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和.

    由分組規律知,由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列,且公差為20.

    同理,由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列,且公差均為20.故各組第4個括號中各數之和構成等差數列,且公差為80.注意到第一組中第4個括號內各數之和是68,所以b₁₀₀=68+24×80=1 988.

又b₅=22,所以b₅+b₁₀₀=2 010.

(3)因為=1,

故A_n=(1)(1)·…·(1),

所以A_n=(1)(1)·…·(1).

又A_n＜a對一切n∈N^*都成立,即

(1)(1)·…·(1)2n+1＜a對一切n∈N^*都成立.

設g(n)=(1)(1)·…·(1)2n+1,則只需［g(n)］_max＜a即可.

由于=(1)·=·=＜1,

所以g(n+1)＜g(n),故g(n)單調遞減.

于是［g(n)］_max=g(1)=.

令＜a,即＞0,解得＜a＜0或a＞.

綜上所述,使得所給不等式對一切n∈N^*都成立的實數a存在,a的取值范圍是(,0)∪(,+∞).