Question

如圖，在二面角M-l-N中，直角三角形ABC在面M內，斜邊AB在棱l上，兩直角邊AC、BC與面N所成的角分別為α、β，二面角M-l-N的大小為θ.

求證：sin²α＋sin²β＝sin²θ.

Answer 1

證明：作CC′⊥平面N于點C′，作C′D⊥l于點D，連結CD，則CD⊥l，

    ∴∠CDC′是二面角MlN的平面角，∠CDC′＝θ.

    又∠CAC′＝α，∠CBC′＝β，在△ABC中，CD⊥AB,∠ACB＝90°，

    ∴CD·AB＝AC·BC.

    ∴＝＝＝+.在△CC′D中，設CC′＝a，

    由∠CC′D＝90°，∠CDC′＝θ，CD＝，

    得＝.

    在△CC′A和△CC′B中，同樣可得=，＝，因此＝＋，即sin²α＋sin²β＝sin²θ．