Question

如圖，在二面角α－l－β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點．

(1)求二面角α－l－β的大小；

(2)求證：MN⊥AB；

(3)求異面直線PA與MN所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l．又PA⊥l，∴PD⊥l． 　　∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α－l－β的平面角． 　　∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α－l－β的大小為45°． 　　(2)過M作ME∥AD，交CD于E，連結NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN．∵AB∥CD，∴MN⊥AB 　　(3)過N作NF∥CD，交PD于F，則F為PD的中點．連結AF，則AF為∠PAD的角平線，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴異面直線PA與MN所成的45°角．