Question

如圖，在二面角α－l－β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點．

(1)求二面角α－l－β的大小．

(2)求證：MN⊥AB．

(3)求異面直線PA與MN所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)連結PD．∵ABCD為矩形，

　　∴AD⊥CD，即AD⊥l．

　　又PA⊥α，∴PA⊥l．

　　∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α－l－β的平面角．

　　∵PA⊥AD，PA＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形．

　　∴∠PDA＝45°，即二面角α－l－β的大小為45°．

　　(2)過M作ME∥AD，交CD于E，連結NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN．∵AB∥CD，∴MN⊥AB．

　　(3)過N作NF∥CD，交PD于F，則F為PD的中點，連結AF，則AF為∠PAD的角平分線，

　　∴∠FAD＝45°，而AF∥MN．

　　∴異面直線PA與MN成45°角．

提示：

綜合運用定理、性質可解．