Question

15．F₁，F(xiàn)₂為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F₂為圓心作圓，已知圓F₂經(jīng)過雙曲線的中心，且與雙曲線相交于M點(diǎn)，若直線MF₁恰與圓F₂相切，則該雙曲線的離心率e為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 分析知∠F₁MF₂是直角，又由MF₂的長度為半徑c，在直角三角形F₁MF₂中勾股定理建立相應(yīng)的方程變形求e．

解答 解：易知圓F₂的半徑為c，又直線MF₁恰與圓F₂相切，∠F₁MF₂是直角，
∵|F₁F₂|=2c，|MF₂|=c，|F₁M|=2a+c，
∴在直角三角形F₁MF₂中有
（2a+c）²+c²=4c²，
即e²+2e-2=0，
∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1．
選選D．

點(diǎn)評(píng) 考查焦點(diǎn)三角形的幾何特征與橢圓的定義，屬于訓(xùn)練基本概念的題型，根據(jù)幾何特征與定義將三邊用參數(shù)a，b，c表示出來再根據(jù)離心率公式進(jìn)行變形，訓(xùn)練變形的能力．