Question

已知f（x）是二次函數，f′（x）是它的導函數，且對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表達式；
（II）求證：當x＞1時，f（x）＜-2lnx．

Answer 1

分析：（I）利用待定系數法，結合對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，建立方程組，即可求f（x）的解析表達式；
（II）構造g（x）=f（x）+2lnx，證明函數g（x）在（1，+∞）是單調減函數，即可求得結論．

解答：（I）解：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則f'（x）=2ax+b，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

，解之得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．
（II）證明：設g（x）=f（x）+2lnx，則g′(x)=-2x+

2

x

=

-2(x+1)(x-1)

x

∵x＞1，∴g′（x）＜0
∴函數g（x）在（1，+∞）是單調減函數
∴g（x）＜g（1）=0
∴當x＞1時，f（x）＜-2lnx．

點評：本題考查恒成立問題，考查函數解析式的確定，考查不等式的證明，構造函數，證明函數的單調性是關鍵．