Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內從點P1（0,0）作x軸的垂線交曲線y＝ex于點Q1（0,1），曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，記點的坐標為（,0）（k＝1,2，…，n）.

（1）試求與的關系（k＝2，…，n）；

（2）求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

Answer 1

【答案】(1)xk＝xk－1－1（k＝2，…，n）；(2).

【解析】試題分析：(I)設出Pk-1的坐標，求出Qk-1，利用導數的幾何意義函數在切點處的導數值是曲線的曲線的斜率，利用點斜式求出切線方程，令y=0得到xk與xk+1的關系．

(II)求出|PkQk|的表達式，利用等比數列的前n項和公式求出和

試題解析：（1）設點Pk－1的坐標是（xk－1,0），

∵y＝ex，∴y′＝ex，

∴Qk－1（xk－1，exk－1），在點Qk－1（xk－1，exk－1）處的切線方程是y－exk－1＝exk－1（x－xk－1），令y＝0，則

xk＝xk－1－1（k＝2，…，n）；

（2）∵x1＝0，xk－xk－1＝－1，

∴xk＝－（k－1），

∴|PkQk|＝exk＝e－（k－1），

于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|

＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－（n－1）

＝＝，

即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝.